Comparación, contraste y cálculo de aproximaciones paramétricas y no paramétricas para estimar la volatilidad condicional 8230 Incluyendo: ENFOQUE DE GARCH Incluyendo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavizado exponencial (paramétrico condicional) GARCH y EWMA 21 de mayo de 2010 por David Harper, Los métodos modernos ponen más peso en la información reciente. Ambos EWMA y GARCH ponen más peso en la información reciente. Además, como EWMA es un caso especial de GARCH, tanto EWMA como GARCH emplean el suavizado exponencial. GARCH (p, q) y en particular GARCH (1, 1) GARCH (p, q) es un modelo heteroscedástico condesorregresivo general. Los aspectos clave son: Autoregresivo (AR). La variación de mañana 8217s (o volatilidad) es una función regresada de la variance8212s de today8217s regresa sobre sí mismo Condicional (C). La varianza de tomorrow8217s depende8212 es condicional on8212 la varianza más reciente. Una varianza incondicional no dependería de la variante Heteroskedastic de hoy en día (H). Las variaciones no son constantes, fluyen a lo largo del tiempo, GARCH retrocede en términos históricos o 8220lagged8221. Los términos rezagados son variantes o retornos cuadrados. El modelo genérico GARCH (p, q) regresa en (p) retornos cuadrados y (q) variaciones. Por lo tanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 o regresa en el último período 8217s cuadrado de retorno (es decir, sólo 1 retorno) y el último período 8217s varianza (es decir, sólo 1 varianza). GARCH (1, 1) dada por la siguiente ecuación. La misma fórmula de GARCH (1, 1) puede ser dada con parámetros griegos: Hull escribe la misma ecuación de GARCH como: El primer término (gVL) es importante porque VL es la varianza media de largo plazo. Por lo tanto, (gVL) es un producto: es la varianza media ponderada a largo plazo. El modelo GARCH (1, 1) resuelve la varianza condicional en función de tres variables (varianza anterior, retorno anterior2 y varianza de largo plazo): La persistencia es una característica incrustada en el modelo GARCH. Consejo: En las fórmulas anteriores, la persistencia es (b c) o (alfa-1 beta). Persistencia se refiere a la rapidez con que la varianza (o lentamente) vuelve a 8220decays8221 hacia su promedio a largo plazo. La alta persistencia equivale a la desintegración lenta y la disminución de la regresión hacia la media8221. La baja persistencia equivale a una rápida decaimiento y una rápida reversión a la media.8221 Una persistencia de 1,0 no implica una reversión media. Una persistencia de menos de 1.0 implica una reversión a la media, 8221 donde una menor persistencia implica una mayor reversión a la media. Sugerencia: Como anteriormente, la suma de los pesos asignados a la varianza retardada y retardo al cuadrado es la persistencia (persistencia bc). Una alta persistencia (mayor que cero pero menor que uno) implica una reversión lenta a la media. Pero si los pesos asignados a la varianza retardada y al retardo cuadrado retrasado son mayores que uno, el modelo es no estacionario. Si (bc) es mayor que 1 (si bc gt 1) el modelo es no estacionario y, según Hull, inestable. En cuyo caso, se prefiere EWMA. Linda Allen dice acerca de GARCH (1, 1): GARCH es a la vez 8220compact8221 (es decir, relativamente simple) y notablemente precisa. Los modelos GARCH predominan en la investigación académica. Se han intentado muchas variaciones del modelo GARCH, pero pocas han mejorado en el original. El inconveniente del modelo GARCH es su no linealidad sic Por ejemplo: Resolver para la varianza de largo plazo en GARCH (1,1) Considere la siguiente ecuación de GARCH (1, 1): Supongamos que: el parámetro alfa 0.2, el parámetro beta 0.7, Y Obsérvese que omega es 0.2 pero don8217t error omega (0.2) para la variación a largo plazo Omega es el producto de gamma y la variación a largo plazo. Por lo tanto, si alpha beta 0.9, entonces gamma debe ser 0.1. Dado que el omega es 0.2, sabemos que la varianza de largo plazo debe ser 2.0 (0.2 184 0.1 2.0). GARCH (1,1): Mera diferencia de notación entre Hull y Allen EWMA EWMA es un caso especial de GARCH (1,1) y GARCH (1,1) es un caso generalizado de EWMA. La diferencia más destacable es que GARCH incluye el término adicional para la reversión media y EWMA carece de una reversión media. Así es como obtenemos de GARCH (1,1) a EWMA: Entonces dejamos que 0 y (bc) 1, tal que la ecuación anterior se simplifique a: Esto es ahora equivalente a la fórmula para la media móvil exponencialmente ponderada (EWMA): En EWMA, el parámetro lambda ahora determina el 8220decay: 8221 un lambda que es cercano a uno (lambda alto) exhibe una decadencia lenta. RiskMetrics ™ Approach RiskMetrics es una forma de marca del enfoque de promedio móvil exponencialmente ponderado (EWMA): El lambda óptimo (teórico) varía según la clase de activo, pero el parámetro óptimo global utilizado por RiskMetrics ha sido 0,94. En la práctica, RiskMetrics sólo utiliza un factor de desintegración para todas las series: 183 0,94 para datos diarios 183 0,97 para datos mensuales (mes definido como 25 días de negociación) Técnicamente, los modelos diarios y mensuales son inconsistentes. Sin embargo, ambos son fáciles de usar, se aproximan bastante bien al comportamiento de los datos reales y son robustos a la falta de especificación. Nota: GARCH (1, 1), EWMA y RiskMetrics son paramétricos y recursivos. Resumen GARCH (1, 1) es RiskMetrics generalizado y, por el contrario, RiskMetrics es GARCH (1, 1) está dado por: Los tres parámetros son pesos y por lo tanto deben sumar a uno: Consejo: Tenga cuidado con el primer término en el Ecuación de GARCH (1, 1): omega () gamma () (variación media a largo plazo). Si se le pide la varianza, puede que tenga que dividir el peso para calcular la varianza promedio. Determine cuándo y si un modelo GARCH o EWMA debe usarse en la estimación de la volatilidad En la práctica, las tasas de varianza tienden a ser la media de reverberación por lo tanto, el modelo GARCH (1, 1) es teóricamente superior (8220 más atractivo que 8221) al modelo EWMA. Recuerde que es la gran diferencia: GARCH añade el parámetro que pesa el promedio a largo plazo y por lo tanto incorpora la reversión media. Consejo: Se prefiere GARCH (1, 1) a menos que el primer parámetro sea negativo (lo cual está implícito si alfa beta gt 1). En este caso, GARCH (1,1) es inestable y se prefiere EWMA. Explicar cómo las estimaciones GARCH pueden proporcionar pronósticos que son más precisos. El promedio móvil calcula la varianza basándose en una ventana de observación posterior, p. Los diez días anteriores, los 100 días anteriores. Hay dos problemas con el promedio móvil (MA): Característica de Ghosting: los shocks de volatilidad (aumentos repentinos) se incorporan abruptamente en la métrica MA y luego, cuando la ventana de seguimiento pasa, se caen abruptamente del cálculo. Debido a esto, la métrica MA cambiará en relación con la longitud de la ventana elegida. La información de tendencias no se incorpora. Las estimaciones de GARCH mejoran estas debilidades de dos maneras: A las observaciones más recientes se les asignan pesos mayores. Esto supera fantasmas porque un choque de volatilidad impactará inmediatamente en la estimación, pero su influencia se desvanecerá gradualmente a medida que pasa el tiempo. Se agrega un término para incorporar la reversión a la media Explique cómo la persistencia está relacionada con la reversión a la media. Dada la ecuación GARCH (1, 1): La persistencia es dada por: GARCH (1, 1) es inestable si la persistencia gt 1. Una persistencia de 1,0 indica que no hay reversión media. Una baja persistencia (por ejemplo, 0,6) indica una rápida decaimiento y una alta reversión a la media. Consejo: GARCH (1, 1) tiene tres pesos asignados a tres factores. La persistencia es la suma de los pesos asignados tanto a la varianza retardada como al retardo cuadrado rezagado. El otro peso se asigna a la varianza de largo plazo. Si la persistencia P y el peso G se asignan a la varianza de largo plazo, entonces PG 1. Por lo tanto, si P (persistencia) es alta, entonces G (reversión media) es baja: la serie persistente no es fuertemente revertida; media. Si P es bajo, entonces G debe ser alto: la serie impersistente significa fuertemente que reverte exhibe 8220 descomposición acelerada 8221 hacia la media. La varianza incondicional media en el modelo GARCH (1, 1) está dada por: Explique cómo EWMA descuentan sistemáticamente los datos más antiguos e identifican los factores de desintegración diaria y mensual de RiskMetrics174. La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) viene dada por: La fórmula anterior es una simplificación recursiva de la serie 8220true8221 EWMA que viene dada por: En la serie EWMA, cada peso asignado al cuadrado devuelve una relación constante del peso anterior. Específicamente, lambda (l) es la relación entre los pesos vecinos. De esta manera, los datos más antiguos son sistemáticamente descontados. El descuento sistemático puede ser gradual (lento) o abrupto, dependiendo de lambda. Si lambda es alta (por ejemplo, 0,99), entonces el descuento es muy gradual. Si lambda es baja (por ejemplo, 0,7), el descuento es más abrupto. Los factores de desintegración de RiskMetrics TM: 0.94 para datos diarios 0.97 para datos mensuales (mes definido como 25 días de negociación) Explique por qué las correlaciones de pronóstico pueden ser más importantes que las volatilidades de pronóstico. Al medir el riesgo de la cartera, las correlaciones pueden ser más importantes que la volatilidad / varianza individual del instrumento. Por lo tanto, en relación con el riesgo de la cartera, una previsión de correlación puede ser más importante que las previsiones de volatilidad individual. Utilizar GARCH (1, 1) para pronosticar la volatilidad La tasa de variación futura esperada, en (t) períodos hacia adelante, viene dada por: Por ejemplo, supongamos que una estimación de la volatilidad actual (período n) viene dada por GARCH (1, 1) ): En este ejemplo, alfa es el peso (0,1) asignado al cuadrado anterior (el retorno anterior era 4), beta es el peso (0,7) asignado a la varianza anterior (0,0016). ¿Cuál es la volatilidad futura esperada, en diez días (n 10) Primero, resuelva para la varianza de largo plazo. No es 0.00008 este término es el producto de la varianza y su peso. Dado que el peso debe ser 0,2 (1 - 0,1 -0,7), la variación de largo plazo 0,0004. Segundo, necesitamos la varianza actual (período n). Esto es lo que se nos da más arriba: Ahora podemos aplicar la fórmula para resolver la tasa de variación futura esperada: Esta es la tasa de varianza esperada, por lo que la volatilidad esperada es de aproximadamente 2.24. Observe cómo funciona esto: la volatilidad actual es de unos 3,69 y la volatilidad a largo plazo es 2. La proyección directa a 10 días 8220fades8221 la tasa actual más cercana a la tasa de largo plazo. Previsión de volatilidad no paramétricaEWMA 101 El enfoque EWMA tiene una característica atractiva: requiere relativamente pocos datos almacenados. Para actualizar nuestra estimación en cualquier punto, sólo necesitamos una estimación previa de la tasa de varianza y el valor de observación más reciente. Un objetivo secundario de EWMA es seguir cambios en la volatilidad. Para los valores pequeños, las observaciones recientes afectan rápidamente la estimación. Para valores cercanos a uno, la estimación cambia lentamente en función de los cambios recientes en los retornos de la variable subyacente. La base de datos RiskMetrics (producida por JP Morgan y puesta a disposición del público) utiliza la EWMA para actualizar la volatilidad diaria. IMPORTANTE: La fórmula de EWMA no asume un nivel de varianza promedio a largo plazo. Por lo tanto, el concepto de volatilidad significa la reversión no es capturado por la EWMA. Los modelos ARCH / GARCH son más adecuados para este propósito. Lambda Un objetivo secundario de EWMA es rastrear los cambios en la volatilidad, por lo que para los valores pequeños, la observación reciente afecta rápidamente a la estimación, y para valores cercanos a uno, la estimación cambia lentamente a los cambios recientes en los retornos de la variable subyacente. La base de datos RiskMetrics (producida por JP Morgan) y puesta a disposición pública en 1994, utiliza el modelo EWMA para actualizar la estimación diaria de la volatilidad. La empresa encontró que a través de un rango de variables de mercado, este valor de proporciona pronóstico de la varianza que se aproxima más a la tasa de varianza realizada. Las tasas de varianza realizadas en un día en particular se calculó como un promedio igualmente ponderado de los siguientes 25 días. Del mismo modo, para calcular el valor óptimo de lambda para nuestro conjunto de datos, tenemos que calcular la volatilidad realizada en cada punto. Hay varios métodos, así que elige uno. A continuación, calcule la suma de los errores al cuadrado (SSE) entre la estimación de EWMA y la volatilidad realizada. Finalmente, minimice el SSE variando el valor lambda. Suena simple Es. El mayor desafío es acordar un algoritmo para calcular la volatilidad realizada. Por ejemplo, la gente en RiskMetrics eligió el siguiente 25 días para calcular la tasa de varianza realizada. En su caso, puede elegir un algoritmo que utiliza los precios de volumen diario, HI / LO y / o OPEN-CLOSE. FAQ Q 1: ¿Podemos usar EWMA para estimar (o pronosticar) la volatilidad más de un paso adelante? La representación de volatilidad de EWMA no asume una volatilidad promedio a largo plazo, y por lo tanto, para cualquier horizonte de pronóstico más allá de un paso, la EWMA devuelve un Valor constante: GARCH es un ajuste mejor para modelar datos de series temporales cuando los datos muestran heterogeneidad de actitud pero también agrupamiento de volatilidad. El modelo GARCH acomoda esto, así como kurtosis (picos de precios), y es particularmente útil en el modelado de los precios de la electricidad porque esos picos de precios son a menudo persistentes y son causados por elementos fuera del control humano. GARCH también es útil para pronosticar la covarianza de los retornos en los datos de la serie de tiempo financiero. GARCH ha sustituido esencialmente a la media móvil ponderada exponencialmente, que proporciona una medida de la varianza de término actual en función de dos parámetros: la varianza en el período anterior y el valor cuadrado en el período anterior. GARCH añade un parámetro adicional a este modelo - la varianza media a largo plazo - que le permite seguir la persistencia de la varianza alrededor de la media. Es un sentido, GARCH es Bayesiano: rastrea la varianza media para todo el período con un peso decreciente retrocediendo desde la observación más reciente que nunca llega a 0. Este enfoque ponderado favorece la recencia, lo que significa que la volatilidad agrupada se ajusta mejor con GARCH. Los retornos utilizados por el modelo se especifican como GARCH (p, q), donde p relaciona el número de retrasos autorregresivos impuestos a la ecuación y q relaciona el número de retrasos de la media móvil. Las curvas de precio de la electricidad son generalmente leptocúrticas, o cuotocuadas, y exhiben una cola larga. Este es un histograma de los precios de Nord Pool Spot de enero de 2008 a diciembre de 2009, donde se puede ver cuan amplia es la distribución de precios y donde la distribución es más densa: los fines de semana en los mercados de electricidad tienden a ser menos volátiles que los días de semana, ocurrir. Esta volatilidad, debido a la fuerza mayor ya otros elementos impredecibles que afectan los precios de la electricidad, son difíciles de predecir día a día. Este es un gráfico de los precios al contado del fin de semana vs. los días de la semana en el Nord Pool Spot durante el mismo período descrito anteriormente: You039ll verá que los cambios de precios durante la semana son mucho más extremos que durante el fin de semana. You039ll también notar que la alta volatilidad tiende a quotclusterquot - un pico de precio único en un período de dos semanas es raro. Por último, los precios de la electricidad son muy estacionales, y la gravedad de, digamos, el invierno es difícil de predecir año a año. Las estaciones frías tienden a exhibir una mayor volatilidad que las estaciones calientes, y los picos de precios son más severos y comunes en estaciones frías. Esta es una gráfica de los precios de Nord Pool Spot para el período de tiempo mencionado anteriormente, con estaciones cálidas y frías demarcadas por color: Así podemos ver a partir de los datos de que los precios se agrupan cluster, la volatilidad es irregular dentro de la semana y de temporada a temporada , Y los picos de precios pueden ser más severos año a año. Por lo tanto, tenemos algunos predictores de volatilidad (días de semana más volátiles que los fines de semana, estaciones frías más volátiles que las cálidas), pero no podemos predecir los picos de precios y sabemos que los aumentos de precios generalmente sucederán en rápida sucesión. La razón por la que el modelo GARCH funciona bien en la predicción de la volatilidad de los precios de la electricidad es que tiene memoria a largo plazo, pero da a los eventos recientes más peso, satisfaciendo así la naturaleza agrupada de los picos de precios. 14.2k Vistas middot Ver Upvotes middot No en Reproducción En un modelo AR (n) autoregressivo de vainilla, el valor actual del proceso es una suma ponderada de los últimos valores de n junto con un término aleatorio. (El término aleatorio también puede denominarse ruido blanco, término quoterror, quot o quotinnovation, dependiendo del campo) donde las ponderaciones son fijas y las innovaciones aleatorias son independientes e idénticamente distribuidas. Este modelo es homoskedastic - los cambios al azar en cada paso del tiempo vienen todos de la misma distribución. (Homo mismo skedastic perteneciente a la dispersión.) Algunos fenómenos del mundo real parecen ser heteroskedastic vez - que parecen tener períodos volátiles seguidos de períodos de calma. La forma más sencilla de hacerlo es simplemente especificar (de forma determinista) cuál será la distribución particular en un momento determinado. Por ejemplo, hay mucha más incertidumbre en el uso de electricidad diurna que en el uso de electricidad durante la noche, así que si modeláramos el uso de la electricidad en un momento determinado podríamos asumir que el uso de la electricidad durante el día tendría una varianza particular mathsigma / math . Y que el uso durante la noche tendría una menor varianza mathsigma / math. Este es un modelo de ARCH - it039s un modelo de AR con heteroskedacity condicional (condicional a la hora actual). Por otro lado, tal vez las oscilaciones de la volatilidad no ocurran necesariamente en momentos particulares - quizás los tiempos en los que se producen son ellos mismos estocásticos. En lugar de especificar exactamente cuál va a ser la varianza en cada momento en particular, podríamos modelar la varianza misma con un modelo AR (p). Este es un modelo GARCH (ARCH generalizado). Existen también varias generalizaciones del modelo GARCH, por ejemplo, podríamos hacer que la volatilidad en un momento dado dependa no sólo de las volatilidades previas y un término aleatorio, sino también del valor actual del proceso principal. Esto estaría de acuerdo con las creencias de algunas personas de que los precios inusualmente altos o bajos de las acciones llevan a una volatilidad desproporcionadamente mayor, por ejemplo. There039s una lista bastante larga aquí: 13.7k Vistas middot Ver Upvotes middot No es para la reproducción Teóricamente son los mismos. Si mathxn / math es la serie degradada, entonces un modelo GARCH representa la siguiente dinámica: math xn sigman epsilonn / matemática math sigman2 omega sum alfaj sigma 2 sum betaj x 2 / math La última summand a la derecha es la dinámica ARCH. Por lo tanto, es obvio que los modelos GARCH incluyen procesos ARCH como un caso especial de mathalphaj0 / math para todos los mathj / math. Pero los modelos ARCH también pueden generar la dinámica GARCH como un caso especial. Tome GARCH (1, 1) como un ejemplo: mathsigman2 omega alfa sigma2 beta x2 / matemáticas mathsigma 2 omega alfa sigma2 beta x2 / matemáticas mathsigman2 / math también puede escribirse como: mathsigman2 omega alfa omega alfa2 sigma2 alfa beta x2 beta x2 / math Repitiendo el procedimiento anterior, para cualquier entero positivo mathk / math podemos escribir: mathsigman2 omega suma kalphaj alphak sigma2 suma beta k alfa x 2 / math Es obvio que debemos tener mathalpha lt 1 / math. De lo contrario el modelo anterior sopla. Pero entonces si mathalpha lt 1 / math. Tenemos Así, para matemáticas / matemáticas lo suficientemente grande, el modelo GARCH anterior es equivalente a lo que es obviamente un modelo ARCH. Esto también es cierto para los modelos GARCH (p, q), es decir, podemos lograr la misma dinámica con un modelo ARCH. En particular, un modelo de ARCH con un número suficiente de términos, es decir, un orden suficientemente alto, puede capturar el efecto de agrupamiento de volatilidad. Así, en teoría, los dos modelos son equivalentes. Lo que los hace diferentes es que si queremos representar la dinámica de GARCH con un modelo de ARCH, necesitamos muchos más términos, lo que hace que las representaciones sean menos sucintas y la estimación mucho más difícil, y surgirán muchos problemas computacionales. Esa es la motivación detrás de los modelos GARCH que también se menciona en el párrafo superior de la página 3 en el archivo PDF al que se ha vinculado: Pueden surgir problemas computacionales cuando el polinomio presenta un orden alto. Para facilitar este cálculo, Bollerslev (1986) propuso un modelo generalizado de auto-regresividad condicional Heteroskedasticity (GARCH). 4.6k Vistas middot Ver Upvotes middot No para Reproducción
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